Об эффективности несущего винта
Es gibt nichts Praktischeres als eine gute Theorie (нем.)
(Нет ничего практичней хорошей теории)
Приписывается Г. Р. Кирхгофу
По моим наблюдениям существует масса заблуждений и непонимания в оценке и сравнении эффективности пропеллеров и винто-моторных групп (ВМГ) вертолетов и мультикоптеров. В первую очередь это относится к выбору пропеллеров и ВМГ для мультикоптера, поскольку в этом случае, в отличие от вертолетов, есть большая свобода, и тот, кто приступает к самостоятельной постройке мультикоптера (вертолеты обычно собирают из готовых наборов), должен решать задачу такого выбора.
Ниже приведено небольшое теоретическое исследование, вносящее ясность в вопрос об эффективности несущего винта (пропеллера мультикоптера). Эффективность мотора не обсуждается. Для понимания материала достаточно знаний в пределах школьного курса.
Предмет рассмотрения
Конструкции несущего винта вертолета и пропеллеров мультикоптера отличаются. На вертолетах (кроме простейших моделей) используется основной винт с переменным шагом и автоматом перекоса. На мультикоптерах в подавляющем большинстве случаев применяют пропеллер с фиксированным шагом. Общее состоит в том, что винт (пропеллер) является несущим, вращается вокруг вертикальной (в состоянии висения летательного аппарата) оси и создает подъемную силу, удерживающую летательный аппарат (ЛА) в воздухе. Приведенные ниже выкладки могут быть отнесены как к одному, так и к другому случаю, разве что, некоторые коэффициенты в уравнениях, описывающих работу винта, которые могут считаться постоянными в случае пропеллера с фиксированным шагом, меняются при изменении шага. Будем считать, что основным предметом интереса является пропеллер мультикоптера. Рассматривается эффективность винта в режиме висения ЛА.
Критерий эффективности несущего винта в режиме висения
Для оценки эффективности многих машин используется коэффициент полезного действия (КПД) - отношение полезной работы (мощности) к затраченной. Однако в случае, когда ЛА неподвижен (находится в режиме висения) никакой полезной работы не совершается. Энергия целиком расходуется на преодоление сил сопротивления: сопротивления воздуха вращению винта, потерь в двигателе, трансмиссии (в случае бесколлекторного мотора - в подшипниках), потерь в проводах, источнике электропитания. В такой ситуации КПД = 0 и использовать значение КПД для оценки эффективности пропеллера и винтомоторной группы (ВМГ) бессмысленно. Между тем, даже в режиме висения вертолет приносит пользу, удерживая полезную нагрузку. Чем меньше энергии при этом ЛА расходует на удержание полезной нагрузки - тем лучше. Естественным образом возникает показатель эффективности как отношение веса полезной нагрузки к затрачиваемой для ее удержания мощности. Поскольку речь в этой статье идет об эффективности собственно пропеллера, вес самого летательного аппарата тоже может быть отнесен к полезной нагрузке. По отношению к пропеллеру можно вообще не говорить о полезной нагрузке, а рассматривать отношение тяги, создаваемой пропеллером, к мощности, которая требуется для его вращения. В практике постройки многороторных вертолетов (мультикоптеров) используют размерность грамм на ватт, поскольку вес таких ЛА обычно не превышает нескольких килограммов.
Надо однако заметить, что значение эффективности, выражаемое отношением тяги к мощности, не остается постоянным (или даже примерно постоянным) для данного пропеллера, а меняется с изменением оборотов, нагрузки и т.д.
Обозначения
Поскольку запись формул в обычном виде здесь затруднительна, я буду использовать нотацию, принятую в языках программирования, когда формулы записываются в одну строку. Основные обозначения такие:
* - знак умножения, он никогда не пропускается;
/ - знак операции деления;
sqrt(x) - квадратный корень из икс;
^ - знак операции возведения в степень. Например, x^2 - это икс в квадрате; Операция “^” имеет приоритет выше умножения и деления, поэтому, например x^2/3 означает икс в квадрате, деленное на три, а x^(2/3) - икс в степени две третьих.
Если в формулах будут встречаться греческие буквы, они будут обозначаться так: alpha, beta, … Номера формул будут записываться в круглых скобках справа от формулы.
Аэродинамика пропеллера
Сила тяги, создаваемая пропеллером (F), и мощность, необходимая для вращения пропеллера (N), выражаются такими формулами [1]:
F = alpha*ro*n^2*D^4 (1)
N = beta*ro*n^3*D^5 (2)
Здесь:
alpha и beta - безразмерные коэффициенты тяги и мощности. Зависят от скорости набегающего потока и формы винта. При висении, когда скорость набегающего потока равна нулю, зависят только от формы винта;
ro - плотность воздуха;
n - частота вращения винта;
D - диаметр винта;
Эффективность винта
Рассмотрим, каким образом эффективность винта зависит от полезной нагрузки (тяги). Для этого выразим из формулы (1) частоту n:
n = sqrt(F/(alpha*ro*D^4) = sqrt(F/(alpha*ro))/D^2 (3)
Подставим n из (3) в формулу (2):
N = beta*ro*(sqrt(F/(alpha*ro))/D^2))^3*D^5 = beta*ro*(F/(alpha*ro))^(3/2)/D (4)
Вычислим эффективность пропеллера (E), разделив силу тяги F на мощность, выраженную формулой (4):
E = F/N = F/(beta*ro*(F/(alpha*ro)^(3/2)/D) (5)
Упрощая правую часть (5), получим:
E = D*alpha^(3/2)/beta*sqrt(ro/F) (6)
Коэффициент alpha^(3/2)/beta характеризует аэродинамическое качество пропеллера и в режиме висения зависит только от формы винта. Обозначим этот коэффициент
Q = alpha^(3/2)/beta (7)
Тогда эффективность выражается так:
E = Q*D*sqrt(ro/F) (8)
В режиме висения тяга, создаваемая несущими винтами, равна весу ЛА. Поэтому F можно понимать как часть веса ЛА, приходящуюся на один пропеллер. То есть F в формуле (8) - это тяга, которую должен развить пропеллер, чтобы удержать ЛА.
Таким образом, из (8) следует, что эффективность пропеллера прямо пропорциональна его диаметру и обратно пропорциональна квадратному корню из величины тяги, которую должен создать пропеллер.
Учет температуры и атмосферного давления
Чтобы выразить плотность воздуха через атмосферное давление и температуру, используем уравнение Менделеева-Клапейрона [2]:
p*V = m/mu*R*T (9)
Здесь:
p - давление;
V - объем;
m - масса;
mu - молярная масса. Для воздуха mu = 29 г/моль.
R - универсальная газовая постоянная;
T - температура (по Кельвину).
Плотность - отношение массы к объему:
ro = m/V (10)
Выражая m/V из (9), получим:
ro = mu*p/(R*T) (11)
Подставляя выражение для плотности из (11) в (8), получаем:
E = Q*D*sqrt(mu*p/(R*T*F)) (12)
Обозначим С = sqrt(mu/R) - для воздуха это константа. Тогда формула для эффективности окончательно будет выглядеть так:
E = C*Q*D*sqrt(p/(T*F)) (13)
То есть, эффективность пропеллера в режиме висения прямо пропорциональна коэффициенту его аэродинамического качества (зависит от формы), диаметру и квадратному корню из атмосферного давления. Обратно пропорциональна квадратному корню из температуры воздуха (в Кельвинах) и квадратному корню из силы тяги, которую должен создать пропеллер.
Список источников:
- Прицкер Д. М., Сахаров Г. И. Аэродинамика. М., Машиностроение, 1968
- Википедия. Уравнение Менделеева-Клапейрона: ru.wikipedia.org/…/Уравнение_Менделеева-Клапейрона.
