Об эффективности несущего винта

Es gibt nichts Praktischeres als eine gute Theorie (нем.)
(Нет ничего практичней хорошей теории)

Приписывается Г. Р. Кирхгофу

По моим наблюдениям существует масса заблуждений и непонимания в оценке и сравнении эффективности пропеллеров и винто-моторных групп (ВМГ) вертолетов и мультикоптеров. В первую очередь это относится к выбору пропеллеров и ВМГ для мультикоптера, поскольку в этом случае, в отличие от вертолетов, есть большая свобода, и тот, кто приступает к самостоятельной постройке мультикоптера (вертолеты обычно собирают из готовых наборов), должен решать задачу такого выбора.

Ниже приведено небольшое теоретическое исследование, вносящее ясность в вопрос об эффективности несущего винта (пропеллера мультикоптера). Эффективность мотора не обсуждается. Для понимания материала достаточно знаний в пределах школьного курса.

Предмет рассмотрения

Конструкции несущего винта вертолета и пропеллеров мультикоптера отличаются. На вертолетах (кроме простейших моделей) используется основной винт с переменным шагом и автоматом перекоса. На мультикоптерах в подавляющем большинстве случаев применяют пропеллер с фиксированным шагом. Общее состоит в том, что винт (пропеллер) является несущим, вращается вокруг вертикальной (в состоянии висения летательного аппарата) оси и создает подъемную силу, удерживающую летательный аппарат (ЛА) в воздухе. Приведенные ниже выкладки могут быть отнесены как к одному, так и к другому случаю, разве что, некоторые коэффициенты в уравнениях, описывающих работу винта, которые могут считаться постоянными в случае пропеллера с фиксированным шагом, меняются при изменении шага. Будем считать, что основным предметом интереса является пропеллер мультикоптера. Рассматривается эффективность винта в режиме висения ЛА.

Критерий эффективности несущего винта в режиме висения

Для оценки эффективности многих машин используется коэффициент полезного действия (КПД) - отношение полезной работы (мощности) к затраченной. Однако в случае, когда ЛА неподвижен (находится в режиме висения) никакой полезной работы не совершается. Энергия целиком расходуется на преодоление сил сопротивления: сопротивления воздуха вращению винта, потерь в двигателе, трансмиссии (в случае бесколлекторного мотора - в подшипниках), потерь в проводах, источнике электропитания. В такой ситуации КПД = 0 и использовать значение КПД для оценки эффективности пропеллера и винтомоторной группы (ВМГ) бессмысленно. Между тем, даже в режиме висения вертолет приносит пользу, удерживая полезную нагрузку. Чем меньше энергии при этом ЛА расходует на удержание полезной нагрузки - тем лучше. Естественным образом возникает показатель эффективности как отношение веса полезной нагрузки к затрачиваемой для ее удержания мощности. Поскольку речь в этой статье идет об эффективности собственно пропеллера, вес самого летательного аппарата тоже может быть отнесен к полезной нагрузке. По отношению к пропеллеру можно вообще не говорить о полезной нагрузке, а рассматривать отношение тяги, создаваемой пропеллером, к мощности, которая требуется для его вращения. В практике постройки многороторных вертолетов (мультикоптеров) используют размерность грамм на ватт, поскольку вес таких ЛА обычно не превышает нескольких килограммов.

Надо однако заметить, что значение эффективности, выражаемое отношением тяги к мощности, не остается постоянным (или даже примерно постоянным) для данного пропеллера, а меняется с изменением оборотов, нагрузки и т.д.

Обозначения

Поскольку запись формул в обычном виде здесь затруднительна, я буду использовать нотацию, принятую в языках программирования, когда формулы записываются в одну строку. Основные обозначения такие:

* - знак умножения, он никогда не пропускается;
/ - знак операции деления;
sqrt(x) - квадратный корень из икс;
^ - знак операции возведения в степень. Например, x^2 - это икс в квадрате; Операция “^” имеет приоритет выше умножения и деления, поэтому, например x^2/3 означает икс в квадрате, деленное на три, а x^(2/3) - икс в степени две третьих.

Если в формулах будут встречаться греческие буквы, они будут обозначаться так: alpha, beta, … Номера формул будут записываться в круглых скобках справа от формулы.

Аэродинамика пропеллера

Сила тяги, создаваемая пропеллером (F), и мощность, необходимая для вращения пропеллера (N), выражаются такими формулами [1]:

F = alpha*ro*n^2*D^4 (1)
N = beta*ro*n^3*D^5 (2)

Здесь:

alpha и beta - безразмерные коэффициенты тяги и мощности. Зависят от скорости набегающего потока и формы винта. При висении, когда скорость набегающего потока равна нулю, зависят только от формы винта;
ro - плотность воздуха;
n - частота вращения винта;
D - диаметр винта;

Эффективность винта

Рассмотрим, каким образом эффективность винта зависит от полезной нагрузки (тяги). Для этого выразим из формулы (1) частоту n:

n = sqrt(F/(alpha*ro*D^4) = sqrt(F/(alpha*ro))/D^2 (3)

Подставим n из (3) в формулу (2):

N = beta*ro*(sqrt(F/(alpha*ro))/D^2))^3*D^5 = beta*ro*(F/(alpha*ro))^(3/2)/D (4)

Вычислим эффективность пропеллера (E), разделив силу тяги F на мощность, выраженную формулой (4):

E = F/N = F/(beta*ro*(F/(alpha*ro)^(3/2)/D) (5)

Упрощая правую часть (5), получим:

E = D*alpha^(3/2)/beta*sqrt(ro/F) (6)

Коэффициент alpha^(3/2)/beta характеризует аэродинамическое качество пропеллера и в режиме висения зависит только от формы винта. Обозначим этот коэффициент

Q = alpha^(3/2)/beta (7)

Тогда эффективность выражается так:

E = Q*D*sqrt(ro/F) (8)

В режиме висения тяга, создаваемая несущими винтами, равна весу ЛА. Поэтому F можно понимать как часть веса ЛА, приходящуюся на один пропеллер. То есть F в формуле (8) - это тяга, которую должен развить пропеллер, чтобы удержать ЛА.

Таким образом, из (8) следует, что эффективность пропеллера прямо пропорциональна его диаметру и обратно пропорциональна квадратному корню из величины тяги, которую должен создать пропеллер.

Учет температуры и атмосферного давления

Чтобы выразить плотность воздуха через атмосферное давление и температуру, используем уравнение Менделеева-Клапейрона [2]:

p*V = m/mu*R*T (9)

Здесь:

p - давление;
V - объем;
m - масса;
mu - молярная масса. Для воздуха mu = 29 г/моль.
R - универсальная газовая постоянная;
T - температура (по Кельвину).

Плотность - отношение массы к объему:

ro = m/V (10)

Выражая m/V из (9), получим:

ro = mu*p/(R*T) (11)

Подставляя выражение для плотности из (11) в (8), получаем:

E = Q*D*sqrt(mu*p/(R*T*F)) (12)

Обозначим С = sqrt(mu/R) - для воздуха это константа. Тогда формула для эффективности окончательно будет выглядеть так:

E = C*Q*D*sqrt(p/(T*F)) (13)

То есть, эффективность пропеллера в режиме висения прямо пропорциональна коэффициенту его аэродинамического качества (зависит от формы), диаметру и квадратному корню из атмосферного давления. Обратно пропорциональна квадратному корню из температуры воздуха (в Кельвинах) и квадратному корню из силы тяги, которую должен создать пропеллер.

Список источников:

  1. Прицкер Д. М., Сахаров Г. И. Аэродинамика. М., Машиностроение, 1968
  2. Википедия. Уравнение Менделеева-Клапейрона: ru.wikipedia.org/…/Уравнение_Менделеева-Клапейрона.
  • 9033
Comments
Showman

Не сочтите за занудство, но в абзаце “Критерий эффективности несущего винта в режиме висения” много воды (про полезность сил и т.д., можно поспорить). Ну и формулы стоит привести к общепринятому виду, например как тут web.mit.edu/16.unified/www/FALL/…/node86.html (альфа и бета в аэродинамике - углы атаки и скольжения, и т.д.)
Еще у вас эффективность получилась в размерности Н/Вт, а не кг/Вт как предлагали. Но это мелочи 😃

Спасибо за аналитику.

c3c

Обозначения как в книге [1]. кг/Вт никто не обещал 😃. Про г/Вт говорится, но лишь как о традиции. Вы, я вижу, в теме. Раз так, вопрос. Верно ли, что у пропеллеров одинаковой формы, но разного размера (например, APC MR 10" и 12") одинаковые коэффициенты мощности и тяги? Их форма, конечно, не совсем подобна: ступица одна и та же. Но все же…

Showman

Плюс/минус одинаковые. В этом и смысл безразмерных коэффициентов - коэффициенты подобия. Если значительно меняется число Рейнольдса (а оно зависит от размера и скорости), то коэффициенты тоже меняются. В статике часть винта в районе ступицы тяги не создает.

Vitaman

Спасибо за статью.
А мне вот стало интересно, какая же схема (квад, вертолет, гекса и т.д.) более эффективна с максимальными диаметрами винтов (чтобы не задевали) при прочих равных параметрах. В т.ч. при одинаковой массе и при одинаковом размере, т.е. диаметр окружности, в которую вписывается коптер с вращающимися винтами, один и тот же. Тогда формулу (8) можно записать так: E = θ*D/sqrt(m/n), где θ - коэффициент, m -масса коптера, n - число винтов. Для вертолета E = θ*D/sqrt(m), для квадрокоптера E = θ*2r/sqrt(m/4) = θ*2D/( (1+sqrt2)*sqrt(m) ), где 2r - диаметр винта. Тогда отношение эффективности квада к эффективности вертолета равно 2/(1+sqrt2)=0,8 примерно.
Далее можно вывести общую зависимость [отношения эффективности пропеллера мультикоптера к эффективности пропеллера вертолета такого же размера] от [количества винтов] и составить график. У меня получилось так:
(клик)
По вертикали отношение эффективности пропеллера коптера к эффективности пропеллера вертолета таких же размеров
По горизонтали количество винтов мультикоптера

Если ошибки нет, то у квадрокоптера пропеллеры работают наиболее эффективно по сравнению с другими мультироторами.

c3c
Vitaman;bt113395

Спасибо за статью.
А мне вот стало интересно, какая же схема (квад, вертолет, гекса и т.д.) более эффективна с максимальными диаметрами винтов (чтобы не задевали) при прочих равных параметрах.

(клик)
По вертикали отношение эффективности пропеллера коптера к эффективности пропеллера вертолета таких же размеров
По горизонтали количество винтов мультикоптера

Если ошибки нет, то у квадрокоптера пропеллеры работают наиболее эффективно по сравнению с другими мультироторами.

Класс! Меня тоже этот вопрос занимал и собирался какие-то подобные выкладки проделать. Опередили!

c3c

Егор, я еще раз внимательно просмотрел Ваши выкладки. Все так. Не сразу понял обозначения. Пока не сообразил, что D - это диаметр винта вертолета, а r - радиус винта коптера, вписанного в круг диаметра D. Это на всякий случай, для будущих читателей Вашего великолепного комментария.

Есть ощущение, что самый эффективный все-таки коптер с четырьмя с половиной винтами. 😃

Vitaman
c3c;bt113408

D - это диаметр винта вертолета, а r - радиус винта коптера, вписанного в круг диаметра D.

Да, именно так) Сорри что не написал, признаться, я не рассчитывал, что кто-то в этом будет разбираться)

c3c;bt113408

Есть ощущение, что самый эффективный все-таки коптер с четырьмя с половиной винтами. 😃

😁😁😁

c3c

Шутки шутками, а максимум относительной (по отношению к вертолету) эффективности действительно достигается при n= 4.424. И равен 0.830073.

Prsh

Позвольте и мои пару замечаний)

  1. Формула (8) есть не что иное как формула для “эффективности крыла самолета”, которую можно определить как отношение веса самолета к произведению тяги мотора на скорость полета (т.е. к “мощности мотора”); и закон звучит так: эффективность крыла обратнопропорциональна корню из нагрузки
  2. По поводу “задачи о мультикоптерах”. Так как нагрузка на винт прапорциональна заметаемой площади, то задача сводится в точности к подсчету площади соответствующего количества кругов “вписаных” в заданый большой круг.
c3c

Отлично, Аркадий, все сходится!

kasmirov

Не могу понять вокруг чего сыр-бор. Все давно уже выведено и проверено. Примерно в 40-х годах.
К чему использовать бесполезные коэффициенты?
Почему не воспользоваться специализированной литературой по винтам?
Вот из книги Джонсона “Теория вертолета”

c3c

А в чем проблема, Карим? Мне хотелось разобраться в вопросе, я разобрался. Для этого оказалось достаточно двух формул из учебника аэродинамики. А книжку Джонсона скачал примерно часа за два до того, как Вы этот комментарий написали. 😃 Буду читать. Я посмотрю еще внимательно, но пока не вижу на приведенной Вами странице диаметра винта, выбор которого всех интересует.

Еще, если есть желание, уточните про “бесполезные коэффициенты”. Которые бесполезные?

kasmirov

Толку ноль с коэф., который нельзя посмотреть в справочнике.
А - площадь активного диска.

На приведенной мной странице есть интересующий всех вопрос энергоэффективности.
А по теме винтов с фиксированным шагом почитайте Александров В.Л., 1951 - Воздушные винты

c3c

Там только один такой коэффициент - Q. Впрочем, его тоже можно посмотреть. Для APC, например, здесь. Это во-первых. Во-вторых, если речь о пропеллерах одной серии, то можно считать, что коэффициенты одинаковы. Еще замечу, что обычно путаница не с аэродинамическим качеством пропеллера, а наблюдаются непонятки с самим характером зависимости эффективности от диаметра и нагрузки.

За ссылки на книжечки спасибо. Вряд ли по-настоящему погружусь в аэродинамику, но посмотрю, возможно. Старые книжки обычно хорошо написаны.