Продолжительность полета электрического беспилотного вертолета
Статья посвящена изучению продолжительности полета электрического вертолета (классического или многороторного). Рассматривается время полета в режиме висения. Получена зависимость времени полета от энергоемкости (массы) аккумуляторной батареи и других параметров. Даны рекомендации по рациональному выбору аккумуляторной батареи.
Время полета
Будем рассматривать время полета в режиме висения летательного аппарата (ЛА). Оно может быть вычислено следующим образом:
T = W*eta/N,
(1)
где
T - время висения ЛА;
W - запас энергии батареи;
eta - коэффициент полезного действия силовой установки, учитывающий внутренние потери энергии в батарее, потери в проводах и электронных компонентах, а также КПД моторов. В режиме висения при установившемся режиме работы моторов КПД силовой установки можно считать постоянным.
N - мощность, расходуемая пропеллерами;
В свою очередь мощность, расходуемая на висение, пропорциональна нагрузке на пропеллеры и обратно пропорциональна эффективности пропеллеров.
N = P/E,
(2)
где P - вес ЛА (Н, Ньютонов); E - эффективность пропеллера (Н/Вт).
Замечу, что в формуле (2) фигурирует общий вес ЛА и эффективность отдельного пропеллера. Поэтому N - это полезная мощность всей силовой установки, которая может включать несколько ВМГ.
Запас энергии батареи определяется ее емкостью (обычно измеряется в ампер-часах или миллиампер-часах) и рабочим напряжением. В летательных аппаратах с электроприводом используются почти исключительно литий-полимерные аккумуляторы, обладающие высокой плотностью энергии на единицу массы. Средняя плотность энергии по результатам обработки данных о 21 аккумуляторной батарее из ассортимента сайта http://hobbyking.com (батареи емкостью от 4Ач до 8.4Ач, номинальным напряжением 11.1В и 14.8В) составила 486Дж/г (135Вт-ч/кг) при разбросе примерно ±10%.
От запаса энергии батареи зависит продолжительность полета летательного аппарата (ЛА). Запас энергии пропорционален массе батареи:
W = w*M
(3)
Здесь: W - энергия, запасенная заряженной АКБ (Дж); w - удельная энергоемкость аккумулятора (Дж/кг); M - масса батареи (кг).
Подставив в правую часть формулы (1), выражения из (2) и (3), получим:
T = w*eta*M*E/P
(4)
Эффективность пропеллера выражается следующим образом [1]:
E = Q*D*sqrt(ro/F)
(5)
Q - безразмерный коэффициент аэродинамического качества пропеллера;
ro - плотность воздуха (кг/куб.м);
D - диаметр пропеллера (м);
F - нагрузка на пропеллер (тяга, развиваемая пропеллером) (Н).
Нагрузка на отдельный пропеллер:
F = P/n,
(6)
где n - количество пропеллеров.
С учетом (6) формула (5) запишется в виде:
E = Q*D*sqrt(ro*n/P)
(7)
Зависимость времени полета от энергоемкости и массы аккумуляторной батареи
Исследуем зависимость продолжительности полета в режиме висения от запаса энергии (энергоемкости), а следовательно, массы АКБ при фиксированной конструкции вертолета и неизменных параметрах атмосферы. Объединим входящие в правую часть (7) величины, остающиеся в этих обстоятельствах постоянными. Обозначим
Ke= Q*D*sqrt(ro*n)
(8)
Тогда (7) можно переписать так:
E = Ke/sqrt(P)
(9)
Поставим полученное выражение для эффективности в формулу (4), позволяющую вычислить время:
T = w*eta*M*Ke/(P*sqrt(P))
(10)
Обозначим Kt = w*eta*Ke. C учетом этого перепишем формулу (10):
T = Kt*M/(P*sqrt(P))
(11)
или
T = Kt*M/P^(3/2)
(12)
Вес ЛА P складывается из веса конструкции за исключением аккумулятора и веса аккумулятора:
P = (M0 + M)*g,
(13)
M0 - масса вертолета без АКБ;
g - ускорение свободного падения.
Время полета:
T = Kt*M/(g^(3/2)*(M0 + M)^(3/2))
(14)
Еще раз объединяя константы, обозначим Ktg = Kt/g^(3/2). Получим:
T = Ktg*M/(M0 + M)^(3/2)
(15)
Разделим числитель и знаменатель правой части формулы (15) на M0^(3/2). Обозначим m = M/M0 - относительная масса АКБ. Получим:
T = Ktg/sqrt(M0)*m/(1 + m)^(3/2)
(16)
Обозначим K = Ktg/sqrt(M0). Тогда формула (16) приобретает вид:
T = K*m/(1 + m)^(3/2)
(17)
Коэффициент K содержит физические величины, от которых зависит абсолютное полетное время, а остальная часть формулы (17) выражает зависимость полетного времени от относительной массы батареи. Исследуем эту зависимость.
Отбросим на время коэффициент K и будем рассматривать условное время полета (T’).
T’ = m/(1 + m)^(3/2)
(18)
График функции (18) показан на рисунке 1.
Рис. 1. Зависимость (условного) времени полета от относительной массы аккумуляторной батареи
Максимальное время полета
Как видно, с ростом массы аккумулятора полетное время вначале возрастает, достигает максимума, а потом начинает уменьшаться. Определим, при какой массе АКБ достигается наибольшее время полета. Для этого найдем максимум функции (18). Продифференцируем (18) по m:
dT’/dm = (2-m)/(2*(m+1)^(5/2))
(19)
В точке максимума функции ее производная равна нулю. Правая часть (19) равна нулю при m = 2. То есть
Максимальное время полета достигается, когда масса аккумуляторной батареи вдвое превышает массу ЛА без батареи
Или по-другому:
Наибольшее время полета электровертолета (мультикоптера) достигается, когда масса аккумуляторной батареи составляет 2/3 полетной массы ЛА
Отсюда также следует еще один важный вывод:
_Масса аккумуляторной батареи не должна превышать удвоенную массу ЛА без батареи. _
_Масса аккумуляторной батареи не должна превышать 2/3 полетной массы ЛА. _
Увеличение массы батареи сверх этого значения уменьшает время полета.
Числовые значения функции (18) не имеют наглядной интерпретации. Поэтому есть смысл использовать ее относительные значения. Можно принять максимальное условное полетное время за 1. Тогда значения нормированной функции будут лежать в диапазоне он 0 до 1 и будут представлять собой долю от максимально возможного времени, что очень наглядно.
Найдем максимум значения функции (18) подставив в формулу (18) m = 2:
T’max = 2/(1 + 2)^(3/2) = 2/3^(3/2) = 2/sqrt(3^3) = 2/sqrt(27) = 2/(3*sqrt(3))
(20)
Разделим правую часть (18) на 2/(3*sqrt(3)). Обозначим полученную величину t - относительное полетное время. Получим:
t = 3*sqrt(3)*m/(2*(1 + m)^(3/2))
(21)
График этой функции показан на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость относительного полетного времени от относительной массы аккумуляторной батареи
Можно оценить значения полетного времени при некоторых характерных значениях массы АКБ. Так, при m = 1 (масса батареи равна массе аппарата без батареи, то есть составляет половину полетной массы) полетное время составит 0.92 от максимального. При m = 0.5 (масса батареи составляет треть массы ЛА) полетное время оказывается равным 0.71 максимального.
Оптимальная масса АКБ по критерию сбалансированности потерь
Несмотря на то, что максимум полетного времени достигается при m = 2, это не значит, что всегда следует стремиться установить батарею такой массы. Как видно из приведенных выше значений относительного полетного времени для m = 1 и m = 0.5, значительное снижение массы аккумулятора не приводит к пропорциональному уменьшению времени полета. Это обусловлено тем, что при росте массы (веса) ЛА уменьшается эффективность пропеллеров. И может оказаться, что максимальное время полета достигается слишком большой ценой. Уменьшив же, даже довольно существенно, массу батареи можно получить время полета ненамного меньшее максимально возможного.
Исследуем зависимость эффективности пропеллеров от массы батареи. В соответствии с (9)
E = Ke/sqrt(P)
(22)
В соответствии с (13):
P = (M0 + M)*g,
(23)
Подставляя P из (23) в (22), получаем:
E = Ke/sqrt((M0 + M)*g)
(24)
Очевидно, что максимальная эффективность достигается при M = 0 и равна
Emax = Ke/sqrt(M0*g)
(25)
Практически это означает, что чем меньше аккумулятор, тем меньше его вес и тем выше эффективность ВМГ. При том, что время полета при малых M будет невелико.
Используем относительную эффективность, приняв максимальную относительную эффективность за 1. Поделив (24) на Emax получим:
е = sqrt(M0/(M0 + M)),
(26)
где e - относительная эффективность.
Поделив числитель и знаменатель подкоренного выражения в (26) на M0, получаем зависимость относительной эффективности от относительной массы АКБ m:
е = 1/sqrt(1 + m),
(27)
График зависимости (27) показан на рис. 3 (синяя кривая) вместе с графиком относительного полетного времени (коричневая кривая).
Рис. 3. Зависимость относительной эффективности (синяя кривая) и относительного полетного времени (коричневая кривая) от относительной массы АКБ
Итак, стремиться получить максимальное полетное время не всегда разумно, поскольку в этом случае существенно снижается эффективность пропеллеров, составляя всего 0.58 максимальной эффективности. Имеет смысл несколько уменьшить массу батареи, чтобы поднять эффективность при не очень большом снижении времени. Но до какой величины уменьшить массу? В большей мере пожертвовать эффективностью или полетным временем? Разумным и сбалансированным решением представляется снижение того и другого в одинаковой и, как можно надеяться, не очень большой степени. Такому варианту соответствует точка пересечения двух графиков на рис. 3. При снижении относительной массы АКБ до величины, соответствующей точке пересечения кривых, эффективность и полетное время составят, как видно из графиков, чуть меньше 80% от своих максимальных значений, что может быть вполне приемлемым.
Определим, при каком значении m значения относительного времени и относительной эффективности становятся одинаковы. Для этого приравняем правые части (21) и (27)
3*sqrt(3)*m/(2*(1 + m)^(3/2)) = 1/sqrt(1 + m)
(28)
Найдем корень этого уравнения. Опуская элементарные преобразования, получим:
m = 2/(3*sqrt(3) - 2) = 0.626
(29)
То есть сбалансированной с точки зрения равенства потерь времени и эффективности является АКБ, масса которой составляет 0.626 массы ЛА без батареи. Если вычислить процентное отношение массы батареи к общей массе ЛА (обозначим m%), получится
m% = 2/(3*sqrt(3))*100% = 38.5%
(30)
Не удержусь от того, чтобы заметить, что полученное значение очень близко к пропорции “золотого сечения”, которая составляет
(sqrt(5) - 1)/(sqrt(5) + 1) = 0.382 = 38.2%
Сбалансированной с точки зрения равенства потерь времени и эффективности является АКБ, масса которой относится к полетной массе ЛА в пропорции золотого сечения, то есть составляет около 38%.
Подставляя найденное значение m в формулу (27) получим, что при такой массе батареи время полета и эффективность составят sqrt(1 - 2/(3*sqrt(3))) = 0.784, то есть 78.4% от своих наибольших возможных значений. Таким образом, уменьшение массы батареи более чем втрое (0.626 против 2.0) уменьшает время полета лишь на 21.6%.
Дифференциальный критерий выбора массы АКБ
На рис. 4 показан график функций (21) (27) в диапазоне значений относительной массы m от 0 до 2.0 с одинаковым масштабом по осям.
Рис. 4. Зависимость относительного полетного времени (коричневая кривая) и относительной эффективности (синяя кривая) от относительной массы АКБ
При малых значениях m наклон графика относительного времени к оси абсцисс составляет больше 45 градусов . Это означает, что в этом случае увеличение массы (а значит и емкости) аккумулятора приводит к росту полетного времени большему в относительном выражении, чем прирост емкости. Например, рост массы на 1% приводит к приросту времени больше 1%. Это означает, что увеличение емкости эффективно. Область значений m, когда увеличение емкости эффективно, простирается от 0 до точки, где производная dt/dm = 1. Учитывая (19) и (21), получаем уравнение для определения указанной точки:
3*sqrt(3)/2*(2-m)/(2*(m+1)^(5/2)) = 1
(31)
Численное решение уравнения (31) дает значение m = 0.355. Напомню, что m - это отношение массы АКБ к массе ЛА без АКБ. В процентах от полетного веса масса АКБ составит m% = 0.355/(1 + 0.355)*100% = 26.2%. Полетное время по формуле (21) при этом оказывается равным 58.5% от максимального. Уменьшение времени против максимального оказывается существенным. Полученные величины m и m%, по-видимому, можно считать минимально рекомендованными значениями относительной массы АКБ.
Имеет смысл увеличивать массу (энергоемкость) АКБ как минимум до величин, когда прирост массы дает не меньший прирост времени, то есть до 35.5% массы ЛА без АКБ или, что то же самое, до 26.2% полетной массы
На рис. 4 зеленым цветом показан участок графика относительного времени в рекомендованном диапазоне относительной массы АКБ.
Коэффициент полетного времени
В соответствии с формулой (17) время полета вычисляется так:
T = K*m/(1 + m)^(3/2)
(32)
Входящий в (32) коэффициент K выражается следующим образом:
K = w*eta*Q*D*sqrt(ro*n/M0)/g^(3/2)
(33)
Внесем диаметр пропеллера D под знак квадратного корня:
K = w*eta*Q*sqrt(ro*D^2*n/M0)/g^(3/2)
(34)
Произведение D^2*n пропорционально площади, заметаемой n пропеллерами при вращении. Произведение M0*g = P0 - вес ЛА без батареи. Площадь круга диаметра D равна S = Pi*D^2/4. Отношение веса к площади, заметаемой пропеллерами, дает величину удельной нагрузки (давления) на пропеллеры: p0 = P0/(n*S). Выполняя соответствующие подстановки и элементарные преобразования, из (34) получаем:
K = 2*w*eta*Q*sqrt(ro/Pi)/(g*sqrt(p0))
(35)
Рецепт долголета
Подставляя выражение для К из (35) в (32) получаем формулу для продолжительности полета вертолета в режиме висения:
Т = 2*w*eta*Q*sqrt(ro/Pi)/(g*sqrt(p0))*m/(1 + m)^(3/2),
(36)
где
T - время полета в режиме висения (с);
w - удельная энергоемкость аккумулятора (Дж/кг);
eta - безразмерный коэффициент полезного действия силовой установки;
Q - безразмерный коэффициент аэродинамического качества пропеллера;
ro - плотность воздуха (кг/куб.м). Для стандартной атмосферы по ГОСТ 4401-81 составляет 1.225кг/куб.м;
Pi = 3.14159;
g - ускорение свободного падения (м/с^2);
p0 - удельная нагрузка на пропеллеры, рассчитанная по весу ЛА без АКБ (Н/кв.м);
m - относительная масса АКБ. m = M/M0, где M - масса аккумуляторной батареи (кг); M0 - масса ЛА без батареи (кг).
Формула (36) в традиционной записи:
Рекомендации по выбору относительной массы АКБ были даны выше. Из (35) и (36) с очевидностью следует, что продолжительность полета растет пропорционально увеличению КПД силовой установки, аэродинамическому качеству пропеллеров, удельной энергоемкости батареи. Однако рассчитывать на существенное увеличение этих параметров при проектировании ЛА, как правило, не приходится. В то же время для увеличения продолжительности полета следует уменьшать, насколько это возможно, удельную нагрузку на пропеллеры. Время полета увеличивается обратно пропорционально квадратному корню из удельной нагрузки на пропеллеры.
Вычислительный эксперимент
Поскольку для экспериментального исследования продолжительности полета в зависимости от массы аккумулятора возможностей пока не нашлось, была проведена серия вычислительных экспериментов. Для этого использовался Калькулятор для мультикоптеров (Version: X6.06, 31.01.14 / Data: 22.02.14 with 3294 Motors), разработанный Markus Mueller. Результаты по продолжительности полета (висения), полученные с помощью этого калькулятора, хорошо совпадают с фактическими. Так, расчеты, выполненные при проектировании построенного мной квадрокоптера, совпали с результатами тестовых полетов с точностью до минуты [2].
Были выполнены две серии расчетов для следующих конфигураций ЛА:
-
Квадрокоптер, примерно совпадающий по характеристикам с моделью DJI Phantom. Вес без ВМГ 300г, пропеллер диаметром 9", шаг 4.5". Моторы Tiger Motor MS 2212-13 (980kv). Аккумуляторные батареи 11.1В (3S) 2500мАч 35/50С. Масса одной батареи 210г. Количество батарей менялось от 1 до 7.
-
Квадрокоптер, описанный в статье Квадролет [2]. Вес без ВМГ 482г, пропеллер диаметром 12", шаг 4.5". Моторы Tiger Motor MT 3506-25 (650kv). Аккумуляторные батареи 14.8В (4S) 2500мАч 35/50С. Масса одной батареи 280г. Количество батарей менялось от 1 до 11.
В ходе расчетов выяснилось следующее обстоятельство. При увеличении количества АКБ (при фиксации веса без ВМГ) полетная масса в калькуляторе увеличивается больше, чем увеличивается вес собственно батарей. Например, при добавлении второй батареи весом 210г к конфигурации 1), полетный вес, сообщаемый калькулятором, увеличивается на 231г. В проектном расчете это может объясняться учетом дополнительного веса проводов и другими подобными обстоятельствами, но при проверке обсуждаемой теории такой подход искажает картину. Поэтому для каждой конфигурации были выполнены расчеты по двум методикам:
а) При изменении количества батарей полетный вес берется таким, какой сообщает калькулятор при фиксированном в калькуляторе значении “Вес без ВМГ”.
б) “Вес без ВМГ” в калькуляторе корректируется так, чтобы полетный вес за вычетом суммарной массы батарей оставался постоянным.
Результаты вычислительного эксперимента представлены на рис. 5 и 6. На каждом графике две кривых. Синяя - расчет по методике а); Коричневая - по методике б)
Рис. 5. Зависимость времени висения (мин) от относительной массы АКБ. Конфигурация 1)
Рис. 6. Зависимость времени висения (мин) от относительной массы АКБ. Конфигурация 2)
Список источников
- С. Свердлов. Об эффективности несущего винта.
- С. Свердлов. Квадролет
