Эффективность идеального пропеллера
В статье Об эффективности несущего винта была приведена формула эффективности (измеряется в г/Вт, Н/Вт) пропеллера в режиме висения:
E = Q*D*sqrt(ro/F)
(1)
где
Q - коэффициент эффективности (качества) пропеллера, характеризующий его аэродинамическое совершенство;
D - диаметр пропеллера;
ro - плотность воздуха;
F - нагрузка (тяга пропеллера).
Значения коэффициента эффективности Q для распространенных пропеллеров APC серий SF и MR вычислены по данным компании-производителя в заметке Аэродинамическое качество пропеллеров APC.
Интересен вопрос, насколько аэродинамическое качество реальных пропеллеров близко к идеалу. Каково максимально возможное значение коэффициента эффективности и какова максимально возможная эффективность пропеллера.
Ниже получены ответы на эти вопросы. Если вы не хотите вдаваться в детали и вникать в промежуточные выкладки, можно сразу перейти в раздел Результаты.
Импульсная теория идеального пропеллера
Эта теория была создана во второй половине XIX века вначале для судовых гребных винтов, а затем была распространена на воздушные винты. Воздух рассматривается как идеальная, то есть несжимаемая жидкость без вязкости. Такое допущение хорошо соблюдается для дозвуковых скоростей. Для справки: скорость на конце лопасти 18-дюймового пропеллера при 11 тыс. об/мин составляет 263 м/с. Скорость звука в стандартной атмосфере на уровне моря 340м/с.
Детальная картина обтекания лопастей пропеллера в рамках этой теории не рассматривается, а применяются общие законы механики: закон изменения количества движения (импульса), законы сохранения энергии и массы для потока воздуха, проходящего через пропеллер.
Пропеллер разгоняет поток (струю) проходящего через него воздуха. Скорость в струе меняется от V0 = 0 на достаточном удалении перед пропеллером до максимального значения V2 - на достаточном удалении после пропеллера.
По теореме Эйлера об изменении количества движения (импульса) в потоке жидкости:
F = m’*(V2 - V0) = m’*V2
(2)
где
m’ - секундный массовый расход воздуха в струе.
Обозначим V1 - скорость воздуха, проходящего через диск пропеллера. Предположим, что эта скорость постоянна по площади диска. Можно показать [1], что именно в этом случае достигается максимально возможная эффективность пропеллера. Сила тяги F приложена к пропеллеру, а равная по величине, но противоположная по направлению сила по третьему закону Ньютона приложена к потоку воздуха, который движется через плоскость диска под действием этой силы со скоростью V1. Тогда мощность N передаваемая пропеллером потоку равна
N = F*V1
(3)
Поскольку потери не учитываются, а поток стационарный, величина кинетической энергии воздуха, проходящего через каждое сечение струи в единицу времени остается постоянной вдоль струи. Тогда на достаточном удалении за пропеллером, где скорость достигает своего максимального значения V2, кинетическая энергия воздуха, проходящего через сечение струи в единицу времени равна
N = m’*V2^2/2
(4)
Приравнивая правые части (3) и (4), получаем:
F*V1 = m’*V2^2/2
(5)
Подставляя в (5) выражение для F из (2), получим:
m’*V2*V1 = m’*V2^2/2
(6)
Поделив обе части (6) на m’*V2 получаем:
V1 = V2/2
(7)
Скорость V1, с которой воздух проходит через диск пропеллера, называется скоростью подсасывания, а максимальная скорость струи на удалении за пропеллером V2 - скоростью отбрасывания. Из (7) следует, что скорость отбрасывания вдвое превышает скорость подсасывания. Это один из важных результатов импульсной теории идеального пропеллера, который хорошо подтверждается экспериментально.
Массовый (секундный) расход воздуха в струе пропеллера может быть определен через плотность воздуха ro, площадь диска пропеллера S и скорость потока в плоскости диска:
m’ = ro*S*V1
(8)
Эффективность идеального пропеллера
Вычислим эффективность пропеллера E как отношение тяги к мощности, используя для мощности формулу (3).
E = F/N = F/(F*V1) = 1/V1
(9)
Оказывается, что эффективность пропеллера обратно пропорциональна скорости струи воздуха, проходящей через пропеллер. Это весьма наглядный результат. Скорость потока увеличивается при увеличении скорости вращения пропеллера. Эффективность при этом убывает. Скорость вращения приходится увеличивать, если возрастает нагрузка на пропеллер или при той же нагрузке уменьшается размер пропеллера. Такие же выводы следуют и из формулы (1). Определим зависимость V1 от тяги F. Учитывая, что в соответствии с (7) V2 = 2*V1, из (2) получаем формулу для тяги, выраженной через скорость V1:
F = m’*V2 = 2*m’*V1
(10)
Подставим в (10) значение массового расхода из (8):
F = 2*m’*V1 = 2*ro*S*V1*V1 = 2*ro*S*V1^2
(11)
Отсюда:
V1 = sqrt(F/(2*ro*S))
(12)
Площадь диска пропеллера равна
S = Pi*D^2/4
(13)
Подставляя в (12), получаем:
V1 = sqrt(F/(2*ro*Pi*D^2/4)) = sqrt(2*F/(Pi*ro*D^2))
(14)
Соответственно, эффективность:
E = 1 /V1 = D*sqrt(Pi*ro/(2*F))
(15)
Группируя константы, перепишем формулу (15):
E = sqrt(Pi/2)*D*sqrt(ro/F)
(16)
Сравнивая формулу (16) с формулой (1), приходим к выводу, что коэффициент эффективности идеального пропеллера равен
Qид = sqrt(Pi/2) = 1,253
(17)
С некоторой грустью приходится заметить, что коэффициенты эффективности реальных пропеллеров, приведенные в [4], более чем вдвое меньше Qид (то есть максимально возможного) и составляют для пропеллеров APC серий MR и SF от 0,545 до 0,609. Мне это тем более обидно, что из-за ошибки в расчетах Qид вначале получился вдвое меньше, его значение при этом превышало значения коэффициента эффективности всех участвовавших в расчетах реальных пропеллеров, но превышало очень ненамного. Что означало, что эффективность пропеллеров APC близка к идеалу. Увы…
Коэффициент совершенства пропеллера в режиме висения
Отношение коэффициента эффективности реального пропеллера к коэффициенту эффективности идеального характеризует аэродинамическое совершенство пропеллера. Такое отношение называют [1] коэффициентом совершенства. Обозначим коэффициент совершенства c - от (aerodynamic c leanness - аэродинамическое совершенство). Тогда
с = Q/Qид = sqrt(2/Pi)*Q = 0,798*Q
(18)
Для идеального пропеллера с = 1, для реальных с < 1. Для пропеллеров APC, рассматривавшихся в [4], 0,435 <= с <= 0,486, то есть от примерно 44% до 49%. Между тем, в литературе [2] можно встретить утверждения, что для хорошо спроектированных винтов этот коэффициент достигает 0,65-0,75. Эти цифры, по всей видимости, относятся к винтам полноразмерных летательных аппаратов, но наверное есть потенциал и для совершенствования небольших пропеллеров, используемых в мультикоптерах.
Условный КПД пропеллера в режиме висения
Рассмотрим отношение мощности идеального к мощности реального пропеллера одного и того же диаметра при одинаковой тяге в режиме висения. Поскольку эффективность E - это отношение тяги к мощности, то
N = F/E
(19)
Мы рассматриваем отношение мощностей при одинаковой тяге, поэтому оно будет равно обратному отношению эффективностей, то есть отношению эффективности реального пропеллера к эффективности идеального. Отношение этих эффективностей, как следует из рассмотрения формул (1) и (16), равно отношению коэффициентов эффективности, то есть выражается формулой (18). Таким образом, коэффициент совершенства пропеллера (18) выражает отношение мощности реального пропеллера к мощности идеального, который работает без потерь и расходует всю свою мощность на создание силы тяги. Такое отношение похоже на выражение для КПД. В отечественной литературе [2] его и называют относительным КПД пропеллера, работающего на месте:
eta0 = с = sqrt(2/Pi)*Q
(20)
Надо, однако, заметить, что это условное название, поскольку работая на месте, пропеллер не создает полезной работы и его КПД в обычном понимании равен нулю.
Максимальная эффективность пропеллера
В практике проектирования и постройки мультикоптеров часто оперируют показателем эффективности в г/Вт. Интересно и полезно оценить максимально возможную эффективность, которую дает идеальный пропеллер. По формуле (16):
Eид = Emax = sqrt(Pi/2)*D*sqrt(ro/F)
(21)
В правую часть формулы входят диаметр винта и величина тяги. Максимальная (как и реальная) эффективность пропорциональна диаметру винта и обратно пропорциональна квадратному корню из величины тяги. Чтобы представить эту зависимость как функцию одной переменной, используем в формуле (21) величину удельной нагрузки на диск (на ометаемую пропеллером площадь) p.
p = F/S = F/(Pi*D^2/4)
(22)
Отсюда
D/sqrt(F) = 2/(sqrt(Pi*p)
(23)
Подставляя правую часть (23) в (21) и выполняя элементарные преобразования, получим:
Emax = sqrt(Pi/2)*2/(sqrt(Pi*p)*sqrt(ro) = 2*sqrt(Pi/2)*(sqrt(ro/(Pi*p)) = sqrt(2*ro/p)
(24)
Emax = sqrt(2*ro/p)
(25)
На рис. 1 показан график зависимости (25). Использованы размерности величин в системе СИ (не путать с языком Цэ 😃 ). Плотность воздуха для стандартной атмосферы на уровне моря ro = 1,225 кг/куб.м.
Рис. 1. Зависимость эффективности идеального пропеллера от нагрузки на диск
Результаты
- V1 = sqrt(p/(2*ro)) = sqrt(2*F/(Pi*ro))/D = 1/Emax
- V2 = 2*V2
- Emax = 1/V1 = sqrt(Pi/2)*D*sqrt(ro/F) = Qид*D*sqrt(ro/F) = sqrt(2*ro/p)
- Qид = sqrt(Pi/2) = 1,253
- с = eta0 = E/Emax = Q/Qид = 0,798*Q
Обозначения:
E - эффективность пропеллера (г/Вт, Н/кв.м.)
Emax - максимально возможная эффективность - эффективность идеального пропеллера.
Q - коэффициент эффективности (качества) пропеллера, характеризующий его аэродинамическое совершенство;
Qид - коэффициент эффективности идеального пропеллера.
D - диаметр пропеллера;
ro - плотность воздуха; Равна 1,225кг/куб.м
F - нагрузка (сила тяги пропеллера).
с - коэффициент совершенства пропеллера.
eta0 = с - относительный КПД пропеллера, работающего на месте.
V1 - скорость потока воздуха в плоскости пропеллера (скорость подсасывания).
V2 - скорость потока воздуха на удалении за пропеллером (скорость отбрасывания).
Pi = 3,14159.
S - площадь, ометаемая пропеллером (площадь диска). S = Pi*D^2/4
p = F/S - (удельная) нагрузка на диск.
Зависимость эффективности от нагрузки на диск
Зависимость площади диска
от диаметра пропеллера
Пример
Выполним для примера расчет для одной из конфигураций квадрокоптера, приведенной в [5]:
вес 1366г, 4 пропеллера APC 12x45MR, эффективность ВМГ по результатам тестового полета E = 10г/Вт.
В системе СИ: вес 13,4Н, тяга одного пропеллера F = 13,4/4 = 3,35Н, диаметр пропеллера 12*0,0254 = 0,3048м.
Площадь диска S = Pi*D^2/4 = 3,14*0,3048^2/4 = 0,0730 кв.м. По таблице: S = 113 кв.дюймов.
Нагрузка на диск p = F/S = 3,35/0,0730 = 45,9Н/кв.м или 1366/4/113 = 3,02г/кв.дюйм.
Скорость подсасывания V1 = sqrt(2*F/(Pi*ro))/D = sqrt(2*3,35/(3,14*1,225))/0,3048 = 4,33м/с.
Скорость отбрасывания V2 = 2*V1 = 2*4,33 = 8,66м/с.
Максимальная эффективность Emax = 1/V1 = 1/4,33 = 0,231Н/Вт или при нагрузке на диск 3,02г/кв.дюйм по графику примерно 23г/Вт.
Коэффициент совершенства, он же относительный КПД с = E/Emax = 10/23 = 0,43 = 43%.
Список источников
- Джонсон У. Теория вертолета: В 2-х книгах. Пер. с англ.— М. Мир, 1983.
- Обуховский А. Д. Аэродинамика воздушного винта. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009.
- С. Свердлов Об эффективности несущего винта.
- С. Свердлов Аэродинамическое качество пропеллеров APC
- С. Свердлов Квадролёт
Комментарии модерируются. Заявления о том, что КПД висящего вертолета отличен от нуля, не принимаются.