Головоломки, задачки и прочее
У меня пока такие мысли:
Представим двух наблюдателей. Один смотрит с момента 0 до момента 1 мин, второй - с момента dt до момента 1+dt, где dt - очень малый промежуток времени. При этом улитка за время [0, dt) проползает один метр, потом стоит, потом за промежуток (1,1+dt] проползает еще метр.
Т.е. за время 1+dt минут улитка проползает 2 метра.
Таких промежутков в 6 минутах можно уместить 6/(1+dt) штук.
Расстояние, на которое уползет улитка при этом, равно S=12/(1+dt) метров.
Отсюда из условия dt>0 следует S<12.
Думаю дальше 😃
Возможно, нужно использовать факт, что количество наблюдателей не может быть дробным числом.
Таких промежутков в 6 минутах можно уместить 6/(1+dt) штук.
Расстояние, на которое уползет улитка при этом, равно S=12/(1+dt) метров.
В 6-ти минутах не может быть более чем 2* (6-1)=10 наблюдателей, удовлетворяющих поставленным условиям.
А следовательно путь не более 10 метров.
Каждый из наблюдателей отметил в отчете что он наблюдал улитку в течении ровно одной минуты непрерывно
А если не непрерывно?)
UPD
не, ерунду спросил…))
В 6-ти минутах не может быть более чем 2* (6-1)=10 наблюдателей, удовлетворяющих поставленным условиям.
А следовательно путь не более 10 метров.
Из чего следует, что одновременно не может быть например 20 наблюдателей?
Таких промежутков в 6 минутах можно уместить 6/(1+dt) штук.
Если потребовать, чтобы число этих промежутков N было целым, и в то же время максимально возможным, то N = 5.
Тогда S = 10.
Из условия следует, что первая и последняя минута были точно под наблюдением одного наблюдателя и за эти 2 минуты улитка проползла точно 2 метра, остается 4 минуты с несколькими наблюдателями и неопределенной разбивкой. Эти 4 минуты и надо рассмотреть.
4 минуты требуют минимум 5 наблюдателей, но максимальное их количество не ограничено ни каким условием.
максимальное их количество не ограничено ни каким условием
Да, потому что нет ограничения на идентичных наблюдателей - начало и окончание наблюдения которых совпадают.
Количество неидентичных наблюдателей ограничено, только если мы хотим максимизировать расстояние, пройденное улиткой (если их больше 10, то хоть кто-нибудь, да увидит перемещение >1 метра за 1 мин).
Например, в самом простом для рассмотрения случае, когда улитка ползет равномерно со скоростью 1 м/мин и проползает за 6 мин 6 метров, количество неидентичных наблюдателей может быть любым начиная с 6 человек.
Как количество наблюдателей связано с поведением улитки? Есть условия задачи, а пожелания не имеют значения. И с чего вдруг при большем количестве наблюдателей путь за минуту должен увеличится?
Как количество наблюдателей связано с поведением улитки?
Нам нужно найти _максимальное_ расстояние, на которое может уползти улитка при заданных условиях наблюдения.
При равномерном движении дальше 6 метров она не уползет. Поэтому, чтобы быстрее скрыться от наблюдения, она должна ползти рывками.
1 рывок = продвижению на 1 метр. По времени рывок+остановка = 1 минута. Максимальное количество рывков, которое можно уместить на 6 минутах - 10. Один в начале, один в конце, и 4 пары с одинаковыми промежутками.
Если наблюдателей будет слишком много, то кто-то увидит больше одного рывка, т.е. продвижение улитки больше чем на метр, что противоречит условию задачи.
Мне осталось понять, почему в условии неравенство строгое, т.е. максимальный путь обязательно меньше 10 метров, но не равен им. Наверное, дело в границах отрезков. Пусть математики объяснят 😃
PS. Вспомнил умное слово скважность 😃
Каждый из наблюдателей отметил в отчете что он наблюдал улитку в течении ровно одной минуты непрерывно и за время его наблюдения улитка проползла ровно метр.
Для каждого наблюдателя средняя скорость была ровно 1м/мин. Наблюдение велось непрерывно, поэтому можно утверждать, что за весь интервал наюлюдения скорость была 1м/мин. Следовательно за 6мин улика проползла ровно 6м. 6<10.
Правда в условии не указано, что все наблюдатели привязаны в единой системе отсчета…
Как количество наблюдателей связано с поведением улитки?
Представим ситуацию. Улитка тоже следит за наблюдателями и подстраивает под них свое передвижение. Ее цель - убежать подальше, передвигаясь со средней скоростью 1 м/мин для _каждого_ наблюдателя.
Что она делает, каков ее алгоритм действий?
- Рывок на 1м с максимальной скоростью, “со всех ног”.
- Если рывок видел один наблюдатель, улитка ждет, пока истечет 1 минута с начала рывка, отдыхает и собирается с силами.
Так же она поступает, если ее скорость представляет собой дельта-функцию, т.е. рывок на 1 метр длится мгновение.
Если рывок произошел за конечное время dt и его часть застал еще какой-то наблюдатель, то улитка ждет истечения времени 1-dt минут c момента появления этого наблюдателя. - Повтор 1)-2), пока наблюдатели не оставят в покое.
При таком алгоритме расстояние S, пройденное улиткой, зависит от количества наблюдателей и их распределения по времени. При каких условиях S максимально - написано выше.
Для каждого наблюдателя средняя скорость была ровно 1м/мин. Наблюдение велось непрерывно, поэтому можно утверждать, что за весь интервал наюлюдения скорость была 1м/мин.
Это неверно…Тут выше уже обсуждали примеры движения улитки и интервалов наблюдения для которых видно что это не так. Например два перекрывющихся интервала и улитка ползущая только на пересечении этих интервалов, а в остальное время отдыхающая.
(решить не могу…((((((, 10 выглядит правдоподобно; дал задание молодым хайфским математикам - жду ответа)))))
Наверно 10 это максимальное количество отрезков длиной 1, которое можно “впихнуть” в отрезок длиной 6, так чтобы на каждом из отрезков нашлась хоть одна точка не входящая ни в один из других отрезков…
Наверно 10 это максимальное количество отрезков длиной 1, которое можно “впихнуть” в отрезок длиной 6, так чтобы на каждом из отрезков нашлась хоть одна точка не входящая ни в один из других отрезков…
Это неверно…
За такое банят, рискну… 😃
За такое банят, рискну…
Боюсь не понял… Меня надо забанить? За что?
Идея с максимизацией пути достижимого улиткой путём подбора набора наблюдателей верная. Идея что улитки выгодно ползти рывками когда за ней наблюдает как можно меньше наблюдателей тоже правильная мысль. Ну и ключевое после того как сформулируется какая конфигурация оптимальна для максимизации пути улитки что 10 наблюдателей оптимально расположенных для максимизации длинны в 6 минутный интервал не впихнуть никак.
Хоть число наблюдателей никак не ограничено но можно показать что “лишние” и “неудобно” расположенные наблюдатели могут только уменьшать максимально достижимый улиткой путь и потому для оценки самого длинного пути улитки их быть не должно. Какие именно наблюдатели лишним можно понять рассмотрев трёх попарно пересекающихся и поняв кто из тех “лишний”. А там уже недалеко до построения оптимального для улитки набора наблюдателей
Из условия следует, что первая и последняя минута были точно под наблюдением одного наблюдателя
Нет не так. В условии явно сказано что каждый наблюдатель хоть на миг но с кем ни будь да пересекался в том числе первый и последний. Двигалась ли улитка в тот момент когда её наблюдали двое вопрос открытый (но впрочем легко показать что в такие моменты когда за ней наблюдало больше чем один ей двигался было “невыгодно”
В 6-ти минутах не может быть более чем 2* (6-1)=10 наблюдателей … А следовательно путь не более 10 метров.
Наблюдателей может быть сколько угодно в том числе ине идентичных по интервалу наблюдения без нарушения условий наблюдения и тем ни менее ни 10 ни больше метров улитка проползти не могла.
Про первую и последнюю минуту (под непрерывным наблюдением как минимум одного наблюдателя) можно сказать что в каждую из них улитка продвинулась на 1 метр, т.е. перемещение за эти периоды определено.
можно сказать что в каждую из них улитка продвинулась на 1 метр, т.е. перемещение за эти периоды определено.
Это да. В такой формулировки верно.
Меня надо забанить?
Не, не… Это я про себя… Прошу прощения за невнятный пост. Видимо переутомился, наблюдая прыгающих улиток… 😃
Наблюдателей может быть сколько угодно в том числе ине идентичных по интервалу наблюдения без нарушения условий наблюдения и тем ни менее ни 10 ни больше метров улитка проползти не могла.
Почему же… Я же там написал что “в соответствии с условиями задачи”. А максимальный путь- это тоже условие задачи.
Я просто не привел всех умозаключений- но решение именно такое как я и указал ранее-
В 6-ти минутах не может быть более чем 2* (6-1)=10 наблюдателей, удовлетворяющих поставленным условиям.
А следовательно путь не более 10 метров.
Единственно , правильно все же не “не более 10 метров” а " менее 10 метров". Потому как 10 метров- это число которое не может быть достигнуто, это недостижимый предел.
А если мы для начала посмотрим что будет если взять скажем 3 вместо 6. Очевидно что в этом случае улитка сможет проползти 4 метра. А 4 это как раз 2*(3-1)…
Вобщем, что-то мне кажется что она как раз 10 и проползет.
А вообще, какая-то тягучая задача… как ползущая улитка:)
Вопрос: а ответ должен получиться ЦЕЛЫМ? такое впечатление, что да. А тогда…Не, хорошая задача!)))
В 6-ти минутах не может быть более чем 2* (6-1)=10 наблюдателей, удовлетворяющих поставленным условиям.
В такой формулировке утверждение неверно.
Смотрите берем 25 наблюдателей первый из которых начинет в момент 0 каждый следующий до 20 включительно начинает через секунду от предыдущего
В - 0:00; 0:01; 0:02; 0:03; 0:04 ;0:05; 0:06; 0:07; 0:08; 0:09; 0:10; 0:11; 0:12; 0:13; 0:14; 0:15; 0:16; 0:17; 0:18; 0:19.
Все остальне наблюдатели начинают ровно в начале очередной минуты друг за другом.
21 начинает в 1:00 пересекаясь с первыми 20 в течении своей минуты с 1:00 по 1:19. и с 22 в 2:00
22 начинает в 2:00 пересекаясь с 21 в 2:00 и 23 в 3:00
…
25 начинает в 5:00.
В этой конфигурации начиная с 0:19 и до 1:00 за улиткой наблюдает 20 человек одновременно .
Начиная с 1:19 за исключением моментов 2:00, 3:00, 4:00, 5:00 за улиткой наблюдает один наблюдатель.
Улитка полезет ровно метр ровно в середине каждой минуты
В - 0:30, 1:30, 2:30, 3:30, 4:30, 5:30 - всего 6 метров
При этом все 25 наблюдателей каждый со своим интерваломи наблюдения, наблюдая минуту ровно увидит что улитка проползла ровно метр.
Первые 20 увидят метр пройденый в 0:30 остальные 5 каждый свой метр в середине их минуты.
Условие наблюдение выполнено для 25 наблюдателей. Этот пример опровергает утверждение в цитате и доказательство на его основе
WBR CrazyElk.
p.S. Требуется доказать что и 10 метров улитка проползти не может.
Вопрос: а ответ должен получиться ЦЕЛЫМ?
Ну скажем так - Мое доказательство базируется на определении точной верхней грани достижимой улиткой дистанции. Конструктивно она у меня целое число метров
Можно предьявить конфигурацию наблюдателей и алгоритм движения ее обеспечивающий + некотрые утверждения/выводы обосновывающие что изменение этой конфигурации или не изменит или уменьшит максимально возможную для улитки дистанцию
Ну а из значения моей оценки необходимое утверждение следует непосредственно.