Головоломки, задачки и прочее
Двигая точку С от А к В вдоль кривой, в какой-то момент обязательно окажется АС = ВС.
А по строже. Почему?
Пусть первое утверждение верно для любой на перед заданной точек А и произвольно выбранной на кривой точке B гарантированно найдется точка С такая что они образуют равнобедренный треугольник ABC ( [A,С]=[B,C]) .
Откуда следует что для конкреной точке A и стремлении к ней точки B (по кругу) найдется хоть один треугольник такой что [A,С]=[B,C]=[A,B]?
Для случае специально выбранной кривой и точки А на ней могу легко предьявить пример когда ни какой из треугольников построенный на замкнутой кривой с данной вершиной А не будет равносторонний. Как бы мы ни выбирали B и сколко бы мы не строили равнобедренных треугольников подбирая С.
“Пример”
Замкнутая кривая это остроугольный треугольник с одним из углов 15 градусов. Точка А вершина этого угла. Как бы мы ни выбирали точки C и B угол при вершине А не может быть больше этих самых 15 градусов, а значить треугольник не может быть равностронним.
Это не говрит что нельзя построить равностронний треугольник по другому выбрав точку А но это и не говорит что всегда можно выбрать точку А такую что один из равнобедренных треугольников будет еще и равносторонним.
WBR CrazyElk
P.S. С равнобедренным тоже “не все чисто”. Замкнутая непрерываная кривая может строится и по принципу фрактала причем нобязательно ограниченного. Ни конечность периметра ни гладкость или диффиренцируемость изменения растояний между точками при такой “замкнутой кривой” не гарантируется. А фактически при рассмотрении доказательства о возможности построения равнобедренного (в том виде как изложено) неявно обращаются к параметрическому представлению кривой и используют непрерывость функции расстояний между точками в зависимости от параметра t. Вот насчет непрерывности функции расстояния для “извращенных случаев” я не уверен . Так что по гамбурскому счету даже расуждения о равноберенном треугольнике не вполне строги.
при сторонах квадрата стремящихся к нулю, почему бы и нет?
Это не понял. Например на куске прямой, как взять 4 точки чтобы получился (маленький) квадрат?
“Пример”
Да, не так просто как я думал…
P.S. С равнобедренным тоже “не все чисто”. Замкнутая непрерываная кривая может строится и по принципу фрактала
Попрошу не выражаться! (под “замкнутой кривой” я имел ввиду непрерывную иммерсию окружности в плоскость:P)
Но кажется в такой форме не так просто доказать. Хотя проблема по-моему только в 1-ом пункте. То есть достаточно изначально найти такую точку А чтобы для близкой точки В построился равнобедренный треугольник
АВС с АС>АВ. Думаю знаю как, но муторно об’яснять… (Для гладкой кривой проблем нет)
Но кроме этого пункта проблем не вижу -дальше все по плану!
п.с. Прошу прощения за вульгаризмы, но видит бог - не я начал!😁
п.п.с (для CrazyElk) Должно быть “правильное” доказательство (что на трехмерном торе графики 3х функций специального вида пересекаются в некоторой точке), но я его не могу придумать
Да, не так просто как я думал…
Выразите сторону(её длину) правильного треугольника через диаметр описанной окружности, вот вам и решение Вашей задачи.
…или новая задача… 😉
Для квадрата, то же самое
Думаю, этой задачки-загадки ещё не было
Плывет по океану корабль - тюрьма с заключенными. Капитан корабля - начальник тюрьмы. Что-то ему привиделось, что грядёт шторм. Ну он и говорит всем: “Заключенные, кто спасёт мне жизнь - тому я выполню любое его желание”
Ну и как полагается, случается шторм и все Заключенные погибают, кроме одного. Этот один спасает капитана, спасает ему жизнь. Их выбрасывает на берег. И вот сидят они на песке.
-Ты спас мне жизнь, а я - человек слова. Говори своё одно желание
-капитан, у меня пожизненный срок. Сократи мне его ровно в два раза
Капитан подумал поразмышлял и сократил
Как он это сделал?))
Выразите сторону(её длину) правильного треугольника через диаметр описанной окружности, вот вам и решение Вашей задачи.
В смысле.
Ну выразим мы длинну стороны треугольника через диаметр описанной окружности D*sin60 - что это дает в плане доказателства?
А давайте рассмотрим в качестве “примера” замкнутой кривой “кривую Пеано” замыкая ее по нижней стороне квадрата. 😃
Выразите сторону(её длину) правильного треугольника через диаметр
В смысле алгоритм
На кривой есть точка А с координатами Х, У.
Требуется найти точку В (Х2,Y2) и С(X3, Y3) , что бы расстояния между точками А, В, С было идентичным
На кривой есть точка А с координатами Х, У.
Я привел конкретную кривую и конкретную точку А на ней такую что при любом выборе двух других точек В и С на этой кривой равносторонего треугольника не получится.
Это доказывает что не для любой точки на кривой можно построить равносторонний треугольник такой что одна из вершины лежат в заданной точке, а две другие на этой же кривой.
Но требуется доказать что на любой замкнутой кривой найдутся три такие точки что они образуют равносторонний треугольник (возможно с некотрыми дополнительными ограничениями относительно ограниченности и гладкости этой кривой).
Как он это сделал?))
Погуглил и нашел ответ на загадку под названием “Пожизненное заключение”
Неужто уже все придумано до нас?..вот в чем вопрос…
На вопрос про пожизненное заключение, мне кажется, может быть только два ответа:
- День (сутки) сидеть, ночь(сутки) на воле.
- Убить ( пусть с того света доказывает, что не в 2 раза сократили срок)
День сидеть и день гулять - не подходит, так как он может умереть в любой момент, а не только на стыке пар дней.
Мне больше нравится математическое решение: бесконечность деленная на два- есть бесконечность
Капитан подумал поразмышлял и сократил
Тут IMHO тонкость толкования что именно сокращается “ровно в два раза”
- Если под сокращением в два раза понимается сокращение ровно в два раза ОСТАВШЕГОСЯ срока отсидки на момент применения решения о сокращении срока то решение - убил немедленно.
Срок отсидки от вынесения поправки до конца жизни ноль, сокращение в два раза тоже ноль - формально капитан чист.
Если в два раза с момента начала отсидки до момента смерти то отпустить и убить через время равное уже отсиженнному сроку - но есть риск не выполнить обещание в связи с преждевременной смертью отпущенного.
Задача в общем виде не решаемая))
А вам не приходило в голову, что при доказательстве той и ли иной задачи решающую роль играет уровень подготовки вопрошающего!?
Конкретно: при отбывании тюремного срока, минимальной единицей измерения являются именно полные сутки, а дни, часы и минуты в расчет не идет.
Так же, как при определении возраста - говорят, что человеку полных 33 года.
Кроме того “пожизненный срок” фактически является смягчением приговора “смертная казнь”. То есть казнить заключенного нельзя.
Исходя из этого по задаче “Пожизненное заключение” нормальный ответ: “Сутки в заключении - сутки на свободе”
Ну отсидел он сутки и помер - условие нарушено
А давайте рассмотрим в качестве “примера” замкнутой кривой “кривую Пеано” замыкая ее по нижней стороне квадрата.
Боюсь для таких тонкостей эта ветка не совсем подходит, все-таки не математический форум…Я под линией вообще-то имел ввиду то что под ней обычно понимает НОРМАЛЬНЫЙ человек))) Но если уж пойти до конца…))) Мне кажется (как я уже говорил) проблема только в п.1 - выбрать т.А. Дальше по-моему все строится нормально для ЛЮБОЙ просто непрерывной кривой. Что касается кривой Пеано, то мне кажется для нее все нормально, т.к. очевидно начальную точку А выбрать легко (почти любую).
Как данная задача формулировалась в оригинале (для каких кривых)- не помню. Но что самое интересное, как я сейчас припоминаю, там утверждалось что можно найти ЛЮБОЙ треугольник (до гомотопии), а не только равносторонний . Так что можно над такой задачей тоже подумать (допустим для “хорошей” кривой)
для ЛЮБОЙ просто непрерывной кривой
Тогда уж любой непрерывно деффериенцируемой ну или проще говоря гладкой. Такой что в лбой точке к ней можно построить касательную ну или хотябы такой что изломов на ней счетное количество.
Я то “верю” что можно найти любой ниже почему верю. (но увы пока только верю)
—
Просто потому что если есть внутрення область такая что в ней можно построить “маленький” треугольник с необходимым соотношением сторон все вершины котрого лежат целиком внутри кривой
А сама кривая ограничена, то начав “раздувая” маленький треугольник рано или поздно в силу ограниченности кривой одна из вершин раздуваемого треугольника “наткнется на кривую”.
“Зацепившись вершиной” за этой вершиной кривую продолжаем “раздувать” не отрывая зацепившуюся пока не “зацепимся” второй вершиной.
“Зацепившись” двумя вершинами продолжаем раздувать по мере необходимости смещая зацепившуюся пару вершин по кривой.
В этот момент зацепления третья вершина все еще внутри (если она зацепится одновременно с второй то задача решена).
Но раздувать до бесконечности треугольник мы не можем в силу ограниченности кривой. У ограниченной кривой есть максимальное возможное расотояние между точками кривой.
Когда зацепившиеся вершины достигнут этого значения третья вершна или будет вне или на кривой. Если на кривой то все что надо доказано.
Если вне то она на кривой третья вершина была когда то раньше. Иначе как попав на кривую из внутренней во внешнюю область вершине не перейти.
Ну или наоборот построить треугольник вокруг и сдувать его в ноль (что наверное даже проще)
Это все совершенно не строго и не доказателство а иллюстрация направления подумать
—
Вот изложить это строго не пока могу. Пока в критерий хорошести у меня входит - огранченность сверху. Нужно ли существание не нулевой по радиусу внутренней области и гладкость пока не знаю.
Да, наверно что-то в таком роде… Насчет того какая допустима кривая. Так как она замкнутая, то она уже обязательно ограничена. У меня все-таки стойкое ощущение (исходя из самой природы задачи) что достаточно непрерывности;; не могу представить как может пригодится например дифференциируемость
Вот еще задача.
Пионеры каждое утро строятся на линейку по отрядам. В каждом отряде 15 человек, Отряд строится в 5 рядов, в каждом по 3 пионера (забыл как такое называется, колонна по 3?). Тройка пионеров стоящая в каждом из рядов успевает настолько между собой перессориться за время одного построения, что больше их уже ни в какой день в один ряд (одну тройку) во избежание серьезного кровопролития постявить невозможно. Смена в пионерлагере длится 7 дней.
Вы, вожатый отряда, должны построить 15 своих пионеров на линейку в каждый из 7 дней.
То есть требуется написать такое расписание:
понедельник: первая тройка: Иванов, Петров, Рабинович; вторая тройка:…
вторник:…
и так на все 7 дней
Так как она замкнутая, то она уже обязательно ограничена.
Ээээ нет. Замыкание может происходить на бесконечности.
Грубо замкнутая кривая это кривая координаты точек в параметрическорм представлении которой представлены функциями имеющими общий период.
Cуществует такие непрерывные функции X(t) и Y(t) что для любой точке принадлежащей кривой с координатами {x,y} найдется T такое что x = X(T), y = Y(T). Такая кривая будет замкнута если существет - а - такое что для любого значения t X(t)=X(t+а) и Y(t)=Y(t+a). Ну вот както так. Ни гладкости, ни ограниченности тут не гарантируется.
“Домик” (класический пятиугольный) вершина крыши котрого “выкинута на бесконечность” вполне себе замкнутая но не ограченная кривая.
Тройка пионеров стоящая в каждом из рядов
По трое они стоят в шеренге, не в ряду 😃
Ээээ нет. Замыкание может происходить на бесконечности.
Нет, по-моему вы тут слишком мудрите. В обычном понимании, плоскость это плоскость без “бесконечности” (нет такой точки), а замкнутая кривая - отображение отрезка в плоскость, так что концы совпадают. Никакая точка не может отобразиться в “бесконечность” так ее просто “нет”. Но не будем спорить о терминах, это понятно не существенно - главное понимать одно и то же. Хорошо, будем в любом случае говорить о ограниченной кривой (иначе ясно что будет плохо дело: например на прямой точно никаких треугольников нет).
По трое они стоят в шеренге, не в ряду 😃
Лейтенант Старухин, не морочьте людям голову! Решение лучше давайте!
(ну ладно, спасибо за уточнение…😃)
Кстати, я кажется не совсем ясно сформулировал условие. Требуется чтобы никакие 2 пионера не стояли дважды вместе в одной ШЕРЕНГЕ.