Статический потолок электрического вертолета: офигеть!

Статический потолок - это максимальная высота, на которой вертолет может висеть. Ограничивается потолок тем, что с ростом высоты падает плотность воздуха, а значит и тяга винта. На высоте статического потолка вся мощность мотора, работающего на полном “газе”, расходуется на висение.

Баланс мощности и статический потолок вертолета Ми-26Т

Существует и динамический потолок. Дело в том, что при полете по горизонтали эффективность несущего винта оказывается выше, чем в режиме висения и поэтому, двигаясь по наклонной траектории вверх, вертолет может подняться выше статического потолка. Максимальная высота, на которую может подняться вертолет таким способом, это динамический потолок.

Достичь статического потолка, поднимаясь вертикально, нельзя, поскольку при приближении к такой высоте запас тяги все уменьшается и скорость подъема тоже, поэтому достижение статического потолка возможно лишь асимптотически, то есть за бесконечное время. Но вертолет может попасть на высоту статического потолка подъемом по наклонной траектории.

Это был короткий экскурс в вертолетную терминологию. А теперь вычислим статический потолок электрического вертолета (мультикоптера).

Уравнение вертолета

Равновесие вертолета при висении определяется балансом веса и мощности [3]:

(1)

где

N_H - мощность при висении;
G - вес вертолета
η - безразмерный коэффициент полезного действия силовой установки;
Q - безразмерный коэффициент эффективности пропеллера;
D - диаметр пропеллера;
n - количество пропеллеров;
ρ - плотность воздуха.

Запас тяги и запас мощности

При проектировании вертолета мощность моторов берется заведомо больше, чем требуется на висение вблизи земли. Для выбора мощности моторов, можно исходить из запаса тяги (тяговооруженности) - отношения максимальной тяги к весу вертолета. Например, можно спланировать, чтобы максимальная тяга вдвое превышала вес. В этом случае на полной мощности мотор и пропеллер смогут сообщить аппарату такое же ускорение при полете вверх, как и при свободном падении! Это очень круто! Настоящий вертолет такого не может.

Обозначим максимальную тягу T_max, максимальную мощность N_max, тяговооруженность K_T, а плотность воздуха у земли (на высоте 0м над уровнем моря) ρ₀. Тогда:

(2)

и

(3)

Как показывают простые сопоставления, в частности таблицы характеристик моторов, публикуемые производителями моторов, коэффициент запаса тяги (тяговооруженность) соответствует широко применяемому моделистами параметру “процент газа при висении”. То есть K_T = 2 соответствует 50% газа, K_T = 1 ~ 100% газа, K_T = 3 ~ 33% газа и т.д.

Как видно из (3), максимальная мощность пропорциональна K_T^3/2. То есть коэффициент запаса мощности ** K_N = K_T^3/2**.

Вычисление статического потолка

Чтобы найти плотность воздуха ρ, при которой на висение тратится вся располагаемая мощность (N_max), приравняем правые части (1) и (3):

(4)

Упростим (4), сокращая одинаковые элементы в правой и левой частях:

(5)

Отсюда находим ρ:

(6)

Поделив обе части (6) на ρ₀ и обозначив ρ_отн = ρ/ρ₀, получим:

(7)

Таким образом, при тяговооруженности, например, K_T = 2 (50% газа при висении) получается, что плотность воздуха на высоте статического потолка должна быть в 8 раз меньше плотности у земли. Чтобы определить эту высоту обратимся к данным о стандартной атмосфере:

Плотность воздуха в стандартной атмосфере

Статический потолок просто офигительный! Почему?

Как можно видеть, плотность уменьшается в 8 раз, то есть достигает относительного значения 1/2³ = 0,125 (красная горизонтальная линия на графике) на высоте больше 16км! Это и будет статический потолок при K_T = 2. Неожиданно большое значение! У настоящих вертолетов статический потолок намного меньше.

Статический потолок вертолетов

Объясняется относительно небольшой статический потолок пилотируемых вертолетов двумя обстоятельствами. Во-первых, тяговооруженность 2 - это очень много. Запас мощности при этом составляет 2^3/2 = 2,83 раза. У реальных вертолетов эта величина существенно меньше. Так, по данным сайта http://www.myhelicopter.ru взлетная мощность вертолета Robinson R44 Raven I составляет 210 л.с., а максимальная - 220 л.с. То есть запас мощности K_N = 220/210 = 1.048, а запас тяги K_T = K_N^2/3 = 1,03. При этом статический потолок вертолета равен 4000 футов или 1200м. Более того, как отмечено в [1]: “Вертолеты Ми-2 -6 -8 не имеют статического потолка (статический потолок равен 0. Прим. с3с) - в стандартных атмосферных условиях (H = 0, t_н = +15ºC, безветрие) могут висеть с полной полетной массой только в зоне влияния земли.” То есть вертолет может взлететь вертикально благодаря наличию воздушной подушки, но висеть на высоте за пределами влияния подушки уже не может, только лететь с ненулевой горизонтальной скоростью.

Во-вторых, поршневые и газотурбинные двигатели вертолетов теряют мощность с высотой. Так, максимальная мощность турбовального двигателя D-136 вертолета Ми-26 линейно падает с 11400 л.с. на уровне земли до 6000 л.с. на высоте 6500 м. Мощность же электромотора не зависит от плотности воздуха!

Зависимость статического потолка от тяговооруженности

Относительная плотность воздуха в стандартной атмосфере до высоты 11 км (нижняя граница тропопаузы) может быть вычислена по формуле из [2] (H - высота, м):

(8)

Формула дает значения, очень мало отличающиеся от приведенных в таблице стандартной атмосферы и в ГОСТ 4401-81. Отличия возникают по причине того, что не учитывается уменьшение ускорения свободного падения с ростом высоты. Параметры стандартной атмосферы в ГОСТе тоже вычисляются по формулам, но более сложным и для высот от -2000м до 1 200 000м.

Чтобы определить зависимость H_ст - статического потолка от тяговооруженности (до высоты 11км) нужно решить уравнение

(9)

относительно неизвестной H_ст. Решая, получаем:

(10)

Зависимость статического потолка от тяговооруженности
По табличным данным стандартной атмосферы

Зависимость статического потолка от запаса мощности и процента газа при висении

Запас тяги и запас мощности связаны соотношением K_T = K_N^2/3. Подставляя в формулу (10), получаем:

(11)

Как уже говорилось, процент газа при висении (percent) связан с тяговооруженностью обратной зависимостью K_T = 100/percent. Поэтому зависимость статического потолка от процента газа можно получить из формулы (10):

(12)

Зависимость статического потолка от процента газа при висении

График построен с использованием табличных данных стандартной атмосферы и включает высоты до 30км. Как видно, на участке от 50% до 100% газа график представляет собой почти прямую линию. Используя на этом участке линейную аппроксимацию, можно получить более простую формулу:

H_ст = 33033 - 331*percent

(13)

Например, при газе 50% получаем 33033 - 331*50 = 16483м.

Оценка запаса мощности по статическому потолку

При анализе характеристик вертолетов не всегда удается найти данные о запасе тяги и мощности. Но, зная статический потолок, эту величину вполне можно оценить. Для этого нужно найти K_N из уравнения (11):

(15)

Эта формула не даст точного значения для вертолета с винтом изменяемого шага. В отличие от пропеллеров коптера, коэффициент эффективности вертолетного несущего винта не остается постоянным. Кроме этого, не учитывается падение мощности мотора с высотой. Но для примерной оценки формулу (15) использовать можно.

Выводы

1. Значение статического потолка для характерных значений тяговооруженности электрических вертолетов получается неожиданно большим. Объяснение этому дано выше. Ошибки в расчетах, вроде бы, нет. Формула (7) использует лишь то обстоятельство, что тяга и мощность несущего винта связаны зависимостью со степенью 3/2, а плотность в формулу мощности входит под квадратным корнем в знаменателе.

2. Представляется, что для вертолетов (мультикоптеров), не предназначенных для акробатики, запас тяги 2 (50% газа при висении у земли) завышен. Уменьшение тяговооруженности позволит уменьшить мощность и массу двигателей, нагрузки в конструкции и, как следствие, общую массу ЛА. Что в свою очередь позволит увеличить весовую отдачу (отношение полезной нагрузки к полетной массе) и время полета. Выполненные расчеты подтверждают, что время полета и масса вертолета существенно зависят от запаса тяги.

3. Обнаруживается неожиданная область применения электрических вертолетов - полеты в ближний космос стратосферу 😃. При 25% газа потолок 30км! Теоретического статического потолка достичь не получится, но интересно было бы попробовать, сколько получится. На форуме, если правильно помню, есть сообщение о полете на высоту 3,5км на Фантоме. Далеко не каждый вертолет может подняться на такую высоту по вертикали. Обратно можно на парашюте или просто падать с выключенными моторами, которые потом включаются у земли - читал, что такое возможно, кто-то так пробовал.

Продолжение…

Ссылки

1. Л. М. Володко, М. П. Верхозин, В. А. Горшков “Вертолеты”. Под ред. А. М. Володко.— М.: Воениздат, 1992. —557 с: ил.
2. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. Общий курс. М.: Наука, 1964. - 815 с.
3. Свердлов С. Об эффективности несущего винта.
4. ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная.
5. Википедия. Стандартная атмосфера.
6. D-136-2. Авиационный турбовальный двигатель. Корпорация “Ивченко”, 2011
7. Вертолеты. Характеристики и описание. Robinson R44 Raven I.
8. Robinson Helicopter Company. R44 Raven/Clipper Series Helicopters.
9. Вертолеты России. Ми-26Т
10. Вертолеты России. Ка-52 “Аллигатор”.

Комментарии модерируются